أتدرب وأحل المسائل

أتدرب وأحل المسائل

تكامل اقترانات خاصة

أجد كلاً من التكاملات الآتية:

(12ex+3x)dx (1)

(12ex+3x)dx=12ex+32x2+C

(x2+2x+1x2)dx (2)

x2+2x+1x2dx=(x2x2+2xx2+1x2)dx=(1+2x+x2)dx=x+2ln|x|x1+C

(ex+1)2dx (3)

(ex+1)2dx=(e2x+2ex+1)dx=12e2x+2ex+x+C

1x(x+2)dx (4)

(4x3+5x)dx=(4x3+5x)dx=2x2+5ln|x|+C

(4x3+5x)dx (5)

(4x3+5x)dx=(4x3+5x)dx=2x2+5ln|x|+C

(x+3e6x7x)dx (6)

(x+3e6x7x)dx=(x12+3e6x7x)dx=23x32+12e6x7ln|x|+C

(3x+15e2x)dx (7)

(3x+15e2x)dx=3ln|x+1|+52e2x+C

12x3dx (8)

12x3dx=(2x3)12dx=(2x3)12+C

(sin(2x3)+e6x4)dx (9)

(sin(2x3)+e6x4)dx=12cos(2x3)+16e6x4+C

4cos(6x+1)dx (10)

4cos(6x+1)dx=23sin(6x+1)+C

sinx+3cosx4dx (11)

sinx+3cosx4dx=(sinx4+3cosx4)dx=(14sinx+34cosx)dx=14cosx+34sinx+C

 (e6x+(12x)6)dx (12)

(e6x4+(12x)6)dx=16e6x4114(12x)7+C

xx2+1dx (13)

xx2+1dx=12(2x)x2+1dx=122xx2+1dx=12ln|x2+1|+C

x2x33dx (14)

x2x33dx=13(3x2)x33dx=133x2x33dx=13ln|x33|+C

x2x2x33x2+12dx (15)

x2x2x33x2+12dx=16(6x26x)2x33x2+12dx=166x26x2x33x2+12dx=16ln|2x33x2+12|+C

 ex+7exdx (16)

ex+7exdx=(exex+7ex)dx=(1+7ex)dx=x7ex+C

1514xdx (17)

1514xdx=4(14)514xdx=4ln|514x|+C

(4x3+2+3sin(53x))dx (18)

(4x3+2+3sin(53x))dx=x4+2x+cos(53x)+C

e2xe2x+3dx (19)

e2xe2x+3dx=12(2e2x)e2x+3dx=12ln|e2x+3|+C

 3(14x)2dx (20)

3(14x)2dx=3(14x)2dx=34(14x)1+C=34(14x)+C

1+xexxdx (21)

1+xexxdx=(1x+xexx)dx=(1x+ex)dx=ln|x|+ex+C

أجد قيمة كل من التكاملات الآتية:

12(2x+3ex4x)dx (22)

12(2x+3ex4x)dx=(x2+3ex4ln|x|)|12=((2)2+3e24ln|2|)((1)2+3e14ln|1|)=3+3e24ln23e

05xx2+10dx (23)

05xx2+10dx=0512(2x)x2+10dx=12052xx2+10dx=12ln|x2+10||12=12ln|(2)2+10|12ln|(1)2+10|=12ln1412ln11

34(2x6)4dx (24)

34(2x6)4dx=110(2x6)5|34=110(2(4)6)5110(2(3)6)5=3210

(25) يتحرك جسيم في مسار مستقيم، وتعطى سرعته المتجهة بالاقتران: v(t)=e2t، حيث t الزمن بالثواني، وv سرعته المتجهة بالمتر لكل ثانية. إذا كان الموقع الابتدائي للجسيم 2 m، فأجد موقع الجسيم بعد 4 ثانية من بدء الحركة.

v(t)=e2ts(t)=e2tdt=12e2t+Cs(t)=12e2t+C

بما أن الموقع الابتدائي للجسيم 2 m إذن s(0)=2:

s(0)=12e0+C2=12e0+C2=12+CC=52s(t)=12e2t+52 

في كل مما يأتي المشتقة الأولى للاقتران f(x)، ونقطة يمر بها منحنى y=f(x) أستعمل المعلومات المعطاة لإيجاد قاعدة الاقتران f(x):

f(x)=5ex;(0,12) (26)

f(x)=5exdx=5ex+C

لإثبات ثابت التكامل، نعوض النقطة (0,12):

f(x)=5ex+Cf(0)=5e0+C12=5+CC=92f(x)=5ex92

f(x)=2x1x2;(1,1) (27)

f(x)=(2x1x2)dx=(2xx2)dx=2ln|x|+x1+C=2ln|x|+1x+C

لإثبات ثابت التكامل، نعوض النقطة (1,-1):

f(x)=2ln|x|+1x+Cf(1)=2ln1+1+C1=1+CC=2f(x)=2ln|x|+1x2

f(x)=ex+x2;(0,4) (28)

f(x)=(ex+x2)dx=ex+13x3+C

لإثبات ثابت التكامل، نعوض النقطة (0,4):

f(x)=ex+13x3+Cf(0)=e0+13(0)3+C4=1+CC=5f(x)=ex+13x3+5

(29) إذا كان ميل المماس لمنحنى العلاقة y هو: dydx=2x+3x+e، فأجد قاعدة العلاقة y، علماً بأن منحناها يمرّ بالنقطة (e,e2).

y=(2x+3x+e)dx=x2+3ln|x+e|+C

لإثبات ثابت التكامل، نعوض النقطة (e,e2):

f(x)=x2+3ln|x+e|+Cf(e)=e2+3ln|e+e|+Ce2=e2+3ln2e+CC=3ln2ef(x)=x2+3ln|x+e|3ln2e

سمكبيئة: في دراسة تناولت أسماكاً في بحيرة، تبين أن عدد الأسماك P(t) يتغير بمعدل: P(t)=0.51e0.03t، حيث t الزمن بالسنوات بعد بدء الدراسة:

(30) أجد قاعدة الاقتران P(t) عند أي زمن t، علماً بأن عدد الأسماك عند بدء الدراسة هو 1000 سمكة.

P(t)=0.51e0.03tdt=0.510.03e0.03t+C=17e0.03t+C

بما أن عدد الأسماك عند بدء الدراسة هو 1000 سمكة، إذن P(0)=1000 ومنه:

P(0)=17e0.03(0)+C1000=17+CC=1017P(t)=17e0.03t+1017

(31) أجد عدد الأسماك بعد 10 سنوات من بدء الدراسة.

P(10)=17e0.03(10)+10171004

عدد الأسماك بعد 10 سنوات من بدء الدراسة هو 1004 سمكة تقريباً.

طب: يلتئم جرح جلدي بمعدل يمكن نمذجته بالاقتران: A(t)=0.9e0.1t، حيث t عدد الأيام بعد الإصابة بالجرح، وA(t) مساحة سطح الجرح بالسنتيمتر المربع:

(32) أجد قاعدة الاقتران A(t)، عند أي زمن t، علماً بأن مساحة سطح الجرح عند الإصابة هي 9 cm2.

A(t)=0.9e0.1tdt=0.90.1e0.1t+C=9e0.1t+C

بما أن مساحة سطح الجرح عند الإصابة هي 9 cm2، إذن A(0)=9 ومنه:

A(0)=9e0.1(0)+C9=9+CC=0A(t)=9e0.1t

(33) أجد مساحة سطح الجرح بعد 5 أيام من الإصابة.

A(5)=9e0.1(5)5.5cm2

مساحة سطح الجرح بعد 5 أيام من الإصابة هي 5.5 cm2 تقريباً.

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

10 / 02 / 2023

النقاشات