أتدرب وأحل المسائل

أتدرب وأحل المسائل

تكامل اقترانات خاصة

أجد كلاً من التكاملات الآتية:

$\int (\frac{1}{2} e^{x} + 3 x) d x$ (1)

$\int (\frac{1}{2} e^{x} + 3 x) d x = \frac{1}{2} e^{x} + \frac{3}{2} x^{2} + C$

$\int (\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2}}) d x$ (2)

$\begin{aligned} \int \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2}} d x & = \int (\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}) d x \\ = \int (1 + \frac{2}{x} + x^{- 2}) d x = x + 2 \ln | x | - x^{- 1} + C \end{aligned}$

$\int {(e^{x} + 1)}^{2} d x$ (3)

$\begin{aligned} \int {(e^{x} + 1)}^{2} d x & = \int (e^{2 x} + 2 e^{x} + 1) d x \\ = \frac{1}{2} e^{2 x} + 2 e^{x} + x + C \end{aligned}$

$\int \frac{1}{x} (x + 2) d x$ (4)

$\begin{aligned} \int (\frac{4}{x^{3}} + \frac{5}{x}) d x & = \int (4 x^{- 3} + \frac{5}{x}) d x \\ = - 2 x^{- 2} + 5 \ln | x | + C \end{aligned}$

$\int (\frac{4}{x^{3}} + \frac{5}{x}) d x$ (5)

$\begin{aligned} \int (\frac{4}{x^{3}} + \frac{5}{x}) d x & = \int (4 x^{- 3} + \frac{5}{x}) d x \\ = - 2 x^{- 2} + 5 \ln | x | + C \end{aligned}$

$\int (\sqrt{x} + 3 e^{6 x} - \frac{7}{x}) d x$ (6)

$\begin{aligned} \int (\sqrt{x} + 3 e^{6 x} - \frac{7}{x}) d x & = \int (x^{\frac{1}{2}} + 3 e^{6 x} - \frac{7}{x}) d x \\ = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2} e^{6 x} - 7 \ln | x | + C \end{aligned}$

$\int (\frac{3}{x + 1} - 5 e^{- 2 x}) d x$ (7)

$\int (\frac{3}{x + 1} - 5 e^{- 2 x}) d x = 3 \ln | x + 1 | + \frac{5}{2} e^{- 2 x} + C$

$\int \frac{1}{\sqrt{2 x - 3}} d x$ (8)

$\begin{aligned} \int \frac{1}{\sqrt{2 x - 3}} d x & = \int (2 x - 3)^{- \frac{1}{2}} d x \\ = (2 x - 3)^{\frac{1}{2}} + C \end{aligned}$

$\int (\sin (2 x - 3) + e^{6 x - 4}) d x$ (9)

$\int (\sin (2 x - 3) + e^{6 x - 4}) d x = - \frac{1}{2} \cos (2 x - 3) + \frac{1}{6} e^{6 x - 4} + C$

$\int 4 \cos (6 x + 1) d x$ (10)

$\int 4 \cos (6 x + 1) d x = \frac{2}{3} \sin (6 x + 1) + C$

$\int \frac{\sin x + 3 \cos x}{4} d x$ (11)

$\begin{aligned} \int \frac{\sin x + 3 \cos x}{4} d x & = \int (\frac{\sin x}{4} + \frac{3 \cos x}{4}) d x \\ = \int (\frac{1}{4} \sin x + \frac{3}{4} \cos x) d x \\ = - \frac{1}{4} \cos x + \frac{3}{4} \sin x + C \end{aligned}$

$\int (e^{6 x} + (1 - 2 x)^{6}) d x$ (12)

$\int (e^{6 x - 4} + (1 - 2 x)^{6}) d x = \frac{1}{6} e^{6 x - 4} - \frac{1}{14} (1 - 2 x)^{7} + C$

$\int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$ (13)

$\begin{aligned} \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x & = \int \frac{\frac{1}{2} (2 x)}{x^{2} + 1} d x \\ = \frac{1}{2} \int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x \\ = \frac{1}{2} \ln | x^{2} + 1 | + C \end{aligned}$

$\int \frac{x^{2}}{x^{3} - 3} d x$ (14)

$\begin{aligned} \int \frac{x^{2}}{x^{3} - 3} d x & = \int \frac{\frac{1}{3} (3 x^{2})}{x^{3} - 3} d x \\ = \frac{1}{3} \int \frac{3 x^{2}}{x^{3} - 3} d x \\ = \frac{1}{3} \ln | x^{3} - 3 | + C \end{aligned}$

$\int \frac{x^{2} - x}{2 x^{3} - 3 x^{2} + 12} d x$ (15)

$\begin{aligned} \int \frac{x^{2} - x}{2 x^{3} - 3 x^{2} + 12} d x & = \int \frac{\frac{1}{6} (6 x^{2} - 6 x)}{2 x^{3} - 3 x^{2} + 12} d x \\ = \frac{1}{6} \int \frac{6 x^{2} - 6 x}{2 x^{3} - 3 x^{2} + 12} d x \\ = \frac{1}{6} \ln | 2 x^{3} - 3 x^{2} + 12 | + C \end{aligned}$

$\int \frac{e^{x} + 7}{e^{x}} d x$ (16)

$\begin{aligned} \int \frac{e^{x} + 7}{e^{x}} d x & = \int (\frac{e^{x}}{e^{x}} + \frac{7}{e^{x}}) d x \\ = \int (1 + 7 e^{- x}) d x \\ = x - 7 e^{- x} + C \end{aligned}$

$\int \frac{1}{5 - \frac{1}{4} x} d x$ (17)

$\begin{aligned} \int \frac{1}{5 - \frac{1}{4} x} d x & = \int \frac{- 4 (- \frac{1}{4})}{5 - \frac{1}{4} x} d x \\ = - 4 \ln | 5 - \frac{1}{4} x | + C \end{aligned}$

$\int (4 x^{3} + 2 + 3 \sin (5 - 3 x)) d x$ (18)

$\int (4 x^{3} + 2 + 3 \sin (5 - 3 x)) d x = x^{4} + 2 x + \cos (5 - 3 x) + C$

$\int \frac{e^{2 x}}{e^{2 x} + 3} d x$ (19)

$\begin{aligned} \int \frac{e^{2 x}}{e^{2 x} + 3} d x & = \int \frac{\frac{1}{2} (2 e^{2 x})}{e^{2 x} + 3} d x \\ = \frac{1}{2} \ln | e^{2 x} + 3 | + C \end{aligned}$

$\int \frac{3}{(1 - 4 x)^{2}} d x$ (20)

$\begin{aligned} \int \frac{3}{(1 - 4 x)^{2}} d x & = \int 3 (1 - 4 x)^{- 2} d x \\ = \frac{3}{4} (1 - 4 x)^{- 1} + C \\ = \frac{3}{4 (1 - 4 x)} + C \end{aligned}$

$\int \frac{1 + x e^{x}}{x} d x$ (21)

$\begin{aligned} \int \frac{1 + x e^{x}}{x} d x & = \int (\frac{1}{x} + \frac{x e^{x}}{x}) d x \\ = \int (\frac{1}{x} + e^{x}) d x \\ = \ln | x | + e^{x} + C \end{aligned}$

أجد قيمة كل من التكاملات الآتية:

$\int_{1}^{2} (2 x + 3 e^{x} - \frac{4}{x}) d x$ (22)

$\begin{aligned} \int_{1}^{2} (2 x + 3 e^{x} - \frac{4}{x}) & d x = {(x^{2} + 3 e^{x} - 4 \ln | x |) |}_{1}^{2} \\ = ((2)^{2} + 3 e^{2} - 4 \ln | 2 |) - ((1)^{2} + 3 e^{1} - 4 \ln | 1 |) \\ = 3 + 3 e^{2} - 4 \ln 2 - 3 e \end{aligned}$

$\int_{0}^{5} \frac{x}{x^{2} + 10} d x$ (23)

$\begin{aligned} \int_{0}^{5} \frac{x}{x^{2} + 10} d x & = \int_{0}^{5} \frac{\frac{1}{2} (2 x)}{x^{2} + 10} d x \\ = \frac{1}{2} \int_{0}^{5} \frac{2 x}{x^{2} + 10} d x \\ = {\frac{1}{2} \ln | x^{2} + 10 | |}_{1}^{2} \\ = \frac{1}{2} \ln | (2)^{2} + 10 | - \frac{1}{2} \ln | (1)^{2} + 10 | \\ = \frac{1}{2} \ln 14 - \frac{1}{2} \ln 11 \end{aligned}$

$\int_{3}^{4} (2 x - 6)^{4} d x$ (24)

$\begin{aligned} \int_{3}^{4} (2 x - 6)^{4} d x & = {\frac{1}{10} (2 x - 6)^{5} |}_{3}^{4} \\ = \frac{1}{10} (2 (4) - 6)^{5} - \frac{1}{10} (2 (3) - 6)^{5} \\ = \frac{32}{10} \end{aligned}$

(25) يتحرك جسيم في مسار مستقيم، وتعطى سرعته المتجهة بالاقتران: $v (t) = e^{- 2 t}$ ، حيث $t$ الزمن بالثواني، و $v$ سرعته المتجهة بالمتر لكل ثانية. إذا كان الموقع الابتدائي للجسيم $2 m$ ، فأجد موقع الجسيم بعد 4 ثانية من بدء الحركة.

$\begin{aligned} v (t) & = e^{- 2 t} \\ s (t) & = \int e^{- 2 t} d t \\ = - \frac{1}{2} e^{- 2 t} + C \\ s (t) & = - \frac{1}{2} e^{- 2 t} + C \end{aligned}$

بما أن الموقع الابتدائي للجسيم $2 m$ إذن $s (0) = 2$ :

$\begin{aligned} s (0) = - \frac{1}{2} e^{0} + C \\ 2 = - \frac{1}{2} e^{0} + C \\ 2 = - \frac{1}{2} + C \\ C = \frac{5}{2} \\ \Rightarrow s (t) = - \frac{1}{2} e^{- 2 t} + \frac{5}{2} \end{aligned}$

في كل مما يأتي المشتقة الأولى للاقتران $f (x)$ ، ونقطة يمر بها منحنى $y = f (x)$ أستعمل المعلومات المعطاة لإيجاد قاعدة الاقتران $f (x)$ :

$f^{'} (x) = 5 e^{x}; (0, \frac{1}{2})$ (26)

$\begin{aligned} f (x) & = \int 5 e^{x} d x \\ = 5 e^{x} + C \end{aligned}$

لإثبات ثابت التكامل، نعوض النقطة $(0, \frac{1}{2})$ :

$\begin{aligned} f (x) = 5 e^{x} + C & \Rightarrow f (0) = 5 e^{0} + C \\ \Rightarrow \frac{1}{2} = 5 + C \\ \Rightarrow C = - \frac{9}{2} \\ f (x) = 5 e^{x} - \frac{9}{2} \end{aligned}$

$f^{'} (x) = \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}; (1, - 1)$ (27)

$\begin{aligned} f (x) & = \int (\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}) d x \\ = \int (\frac{2}{x} - x^{- 2}) d x \\ = 2 \ln | x | + x^{- 1} + C \\ = 2 \ln | x | + \frac{1}{x} + C \end{aligned}$

لإثبات ثابت التكامل، نعوض النقطة $(1, - 1)$ :

$\begin{aligned} f (x) = 2 \ln | x | + \frac{1}{x} + C \Rightarrow f (1) = 2 \ln 1 + 1 + C \\ \Rightarrow - 1 = 1 + C \\ \Rightarrow C = - 2 \\ f (x) = 2 \ln | x | + \frac{1}{x} - 2 \end{aligned}$

$f^{'} (x) = e^{- x} + x^{2}; (0, 4)$ (28)

$\begin{aligned} f (x) & = \int (e^{- x} + x^{2}) d x \\ = - e^{- x} + \frac{1}{3} x^{3} + C \end{aligned}$

لإثبات ثابت التكامل، نعوض النقطة $(0, 4)$ :

$\begin{aligned} f (x) = - e^{- x} + \frac{1}{3} x^{3} + C \Rightarrow f (0) = - e^{0} + \frac{1}{3} (0)^{3} + C \\ \Rightarrow 4 = - 1 + C \\ \Rightarrow C = 5 \\ f (x) = - e^{- x} + \frac{1}{3} x^{3} + 5 \end{aligned}$

(29) إذا كان ميل المماس لمنحنى العلاقة $y$ هو: $\frac{d y}{d x} = 2 x + \frac{3}{x + e}$ ، فأجد قاعدة العلاقة $y$ ، علماً بأن منحناها يمرّ بالنقطة $(e, e^{2})$ .

$\begin{aligned} y & = \int (2 x + \frac{3}{x + e}) d x \\ = x^{2} + 3 \ln | x + e | + C \end{aligned}$

لإثبات ثابت التكامل، نعوض النقطة $(e, e^{2})$ :

$\begin{aligned} f (x) = x^{2} + 3 \ln | x + e | + C \Rightarrow f (e) = e^{2} + 3 \ln | e + e | + C \\ \Rightarrow e^{2} = e^{2} + 3 \ln 2 e + C \\ \Rightarrow C = - 3 \ln 2 e \\ f (x) = x^{2} + 3 \ln | x + e | - 3 \ln 2 e \end{aligned}$

بيئة: في دراسة تناولت أسماكاً في بحيرة، تبين أن عدد الأسماك $P (t)$ يتغير بمعدل: $P^{'} (t) = - 0.51 e^{- 0.03 t}$ ، حيث $t$ الزمن بالسنوات بعد بدء الدراسة:

(30) أجد قاعدة الاقتران $P (t)$ عند أي زمن $t$ ، علماً بأن عدد الأسماك عند بدء الدراسة هو 1000 سمكة.

$\begin{aligned} P (t) & = \int 0.51 e^{- 0.03 t} d t \\ = - \frac{0.51}{0.03} e^{- 0.03 t} + C \\ = - 17 e^{- 0.03 t} + C \end{aligned}$

بما أن عدد الأسماك عند بدء الدراسة هو 1000 سمكة، إذن $P (0) = 1000$ ومنه:

$\begin{aligned} P (0) = - 17 e^{- 0.03 (0)} + C \\ 1000 = - 17 + C \\ C = 1017 \\ P (t) = - 17 e^{- 0.03 t} + 1017 \end{aligned}$

(31) أجد عدد الأسماك بعد 10 سنوات من بدء الدراسة.

$P (10) = - 17 e^{- 0.03 (10)} + 1017 \approx 1004$

عدد الأسماك بعد 10 سنوات من بدء الدراسة هو 1004 سمكة تقريباً.

طب: يلتئم جرح جلدي بمعدل يمكن نمذجته بالاقتران: $A^{'} (t) = - 0.9 e^{- 0.1 t}$ ، حيث $t$ عدد الأيام بعد الإصابة بالجرح، و $A (t)$ مساحة سطح الجرح بالسنتيمتر المربع:

(32) أجد قاعدة الاقتران $A (t)$ ، عند أي زمن $t$ ، علماً بأن مساحة سطح الجرح عند الإصابة هي $9 {cm}^{2}$ .

$\begin{aligned} A (t) & = \int - 0.9 e^{- 0.1 t} d t \\ = \frac{0.9}{0.1} e^{- 0.1 t} + C \\ = 9 e^{- 0.1 t} + C \end{aligned}$

بما أن مساحة سطح الجرح عند الإصابة هي $9 {cm}^{2}$ ، إذن $A (0) = 9$ ومنه:

$\begin{aligned} A (0) = 9 e^{- 0.1 (0)} + C \\ 9 = 9 + C \\ C = 0 \\ A (t) = 9 e^{- 0.1 t} \end{aligned}$

(33) أجد مساحة سطح الجرح بعد 5 أيام من الإصابة.

$A (5) = 9 e^{- 0.1 (5)} \approx 5.5 {cm}^{2}$

مساحة سطح الجرح بعد 5 أيام من الإصابة هي $5.5 {c m}^{2}$ تقريباً.

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

10 / 02 / 2023

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

جميع الحقوق محفوظة © 2025